Sistemi di numerazione.

Consideriamo la rappresentazione e quindi l’elaborazione dell’informazione di tipo matematico.

Fin dall’antichità il concetto di numero è visto come astrazione per risolvere problemi di conteggio. Invece di contare direttamente pere, mele, ecc. si ricorre ad una rappresentazione astratta di quante esse siano; ci si concentra cioè, sull’elemento quantità e non sull’elemento qualità. A loro volta i numeri devono essere rappresentati con qualcosa di concreto (es. aste, palline di un pallottoliere, ecc.).

Il modo più semplice è quello di contare segnando su un supporto di informazione (es. un pezzo di carta) una astina; in questo caso la rappresentazione dei numeri avviene attraverso un solo simbolo (linea verticale), parleremo, quindi, di sistema di numerazione "unario". Questo tipo di rappresentazione è poco conveniente quando bisogna rappresentare elevate quantità numeriche. Il sistema di numerazione ancora oggi utilizzato è quello arabico, che si basa su un insieme di dieci simboli e su una regola ben precisa: 0 corrisponde a nessuna quantità, 1 ad una unità, 2 a due unità, e così via fino a 9; per il numero successivo, anziché utilizzare un nuovo simbolo (non è pensabile utilizzare una macchina da scrivere con infiniti simboli) si scrive un 1 (che rappresenta una decina) seguito da uno zero: così 10 è la somma di 10 più 0, 12 è la somma di 10 più 2, e così via (cioè una decina + 2 unità).

Ovviamente qualsiasi sistema di numerazione con cardinalità (= numero dei simboli utilizzati) maggiore di uno è più conveniente di quello unario per rappresentare delle quantità (contare). Possiamo parlare, così, di base 2, 3, 4, 8, 16, (se vengono usati 2, 3 e così via simboli).

L’informazione elaborata dai calcolatori (Lib1) è rappresentata in forma numerica (digit = cifra, da qui il termine di calcolatore digitale) indipendentemente dalla forma originale (lettera, numero, immagine, suono, ecc.). La rappresentazione numerica di tutte le informazioni è così diventata uno standard per elaborarle, memorizzarle e trasmetterle.

I primi sistemi automatici utilizzavano, per codificare, 10 simboli diversi rappresentanti le dieci cifre, ma con l’avvento dell’elettronica nei calcolatori vengono utilizzati le valvole termoioniche prima, poi i relay, e quindi i transistor, componenti questi che hanno tutti la stessa caratteristica, codificare situazioni come "corrente ON", "corrente OFF", "luce accesa" "luce spenta", utilizzano, cioè "solo due stati", associando ad uno stato il valore "0" e allo stato opposto il valore "1":

si può pensare al calcolatore come una macchina che effettua i calcoli utilizzando il sistema di numerazione in base 2 (binario).

Tutti i dispositivi usati nei sistemi di elaborazione (Lib4/76), e tutti i mezzi di memorizzazione di dati a cui gli elaboratori hanno accesso, hanno soltanto due stati.

Osserviamo che due è il minimo numero di simboli che compongono "un alfabeto" per poter rappresentare informazioni. Nello stesso tempo con solo 2 simboli abbiamo 4 (2²) combinazioni diverse, quindi possiamo rappresentare ben poca informazione, è necessario pertanto utilizzare gruppi di questi simboli per poter rappresentare maggiori quantità di informazioni.

Come accennato precedentemente un numero decimale qualsiasi, può essere espresso come la somma delle unità alle decine, quindi alle centinaia e così via. Viene applicata, cioè, la seguente regola:

"in un numero del sistema decimale (Lib2/110) ciascuna cifra rappresenta, a seconda della propria posizione, quante volte una certa potenza della base 10 è contenuta nel valore rappresentato"

147 = 1 x 10² + 4 x 10¹ + 7 x 10⁰

e così per i numeri decimali si avrà:

147.34 = 1 x 10² + 4 x 10¹ + 7 x 10⁰ + 3 x 10^-1 + 4 x 10^-2

Cioè: a partire da una posizione zero (0), corrispondente all’unità, le posizioni vengono numerate secondo interi positivi crescenti, verso sinistra, e, nel caso di decimali, dalla virgola in poi, secondo interi negativi decrescenti verso destra. Una cifra in una certa posizione indica un multiplo della potenza di 10 elevato all’esponente pari al numero della posizione.

Questa forma di rappresentazione numerica vale per qualunque base diversa da 10.

Base 4 à (13)₄ = 1 x 3¹ + 4 x 3⁰ = 3 + 4 = (7)₁₀

E’ importante fare alcune considerazioni fra i diversi sistemi di numerazione, come il sistema di numerazione posizionale decimale a noi più congeniale, il binario, e altri sistemi di numerazione.

I più utilizzati in informatica per rappresentare le informazioni sono, l’ottale (base 8) e l’esadecimale (base 16).

Convenzionalmente:

per il sistema ottale si utilizzano i simboli: (0,1,2,3,4,5,6,7);

per il sistema esadecimale si utilizzano i simboli: (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F

dove A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15).

Esempi.

(A5E)₁₆ corrisponde a 2654nella base 10 (vedi: Conversione dei numeri tra basi)

(235)₈ corrisponde a 157 nella base 10 (vedi: Conversione dei numeri tra basi)

(10011)₂ corrisponde a 19 nella base 10 (vedi: Conversione dei numeri tra basi)

Anche nel sistema binario, come per il sistema decimale, si considerano i multipli, così abbiamo:

kilo k 2¹⁰ = 1024

Mega M 2²⁰ = 1024² = 1024k = 1.048.576

Giga G 2³⁰ = 1024³ = 1024M = 1.073.741.824

Tera T 2⁴⁰ = 1024⁴ = 1024G = 1.099.511.627.776

Peta P 2⁵⁰ = 1024⁵ = 1024T …