Disciplina MATEMATICA FINANZIARIA

Settore disciplinare SECS-S/06 Metodi matematici dell’economia e delle scienze attuariali e finanziarie

Periodo didattico 1°-2°

Numero crediti 10

Propedeuticità Metodi Matematici per l’Economia

Modalità di svolgimento dell’esame L’accertamento della preparazione avviene in forma scritta e orale. Il superamento della prova scritta è condizione per l’ammissione alla prova orale.

Contenuti 1. Grandezze fondamentali della matematica finanziaria. Interesse e tasso d'interesse di una operazione finanziaria. Operazioni finanziarie composte. La legge degli interessi semplici e quella degli interessi composti, loro proprietà geometriche ed analitiche. Interesse, tasso d'interesse e di sconto, fattore di capitalizzazione e di sconto, intensità di interesse e di sconto, intensità istantanea di interesse e di sconto di una generica funzione valore. Tassi equivalenti in capitalizzazione semplice e composta. Tassi nominali. I titoli obbligazionari a cedola nulla e a cedola fissa. 2. Rendite e piani di ammortamento. Definizioni preliminari. Valore attuale e montante di rendite temporanee a rate costanti (anticipate e posticipate, immediate e differite). Rendite perpetue. Rendite frazionate. Le operazioni di rendita nell'aspetto dinamico. Rendita anticipata e posticipata a rata costante. Rendita posticipata a rata variabile. Il piano d'ammortamento a rate costanti posticipate, a quote capitali costanti e a rimborso unico. Preammortamento. Piani di ammortamento a periodicità frazionata. 3. La valutazione delle operazioni finanziarie. Il Criterio del risultato economico attualizzato (REA). Il criterio del tasso interno di rendimento (TIR). Caso di pagamenti periodici. Richiami sul Teorema fondamentale dell'Algebra. Teorema di Cartesio. Determinazione del TIR mediante interpolazione lineare. Caso di pagamenti non periodici. 4. Indici temporali e di variabilità. Scadenza, vita a scadenza, scadenza media aritmetica, scadenza media e duration di un flusso di importi. Duration di rendite posticipate e di titoli obbligazionari con cedole. Misure di dispersione temporale di un flusso di importi. Variazione relativa di un flusso di importi. Duration di un portafoglio. 5. La funzione valore e prezzi di mercato. Le ipotesi del mercato: non frizionalità, competitività e assenza di arbitraggi e le loro conseguenze. Titoli a cedola nulla unitari e non unitari. La linearità del valore attuale. La funzione valore di un contratto a pronti e a termine e relative proprietà. Tassi impliciti. La struttura per scadenza dei tassi d'interesse. 6. Introduzione alla teoria dell’immunizzazione finanziaria. Il rischio di tasso d’interesse. L’immunizzazione finanziaria classica. L’ipotesi di shift additivi. Il teorema di Fisher e Weil. Il teorema di Redington. 7. Cenni di Calcolo delle Probabilità. Eventi. Definizione assiomatica della probabilità. s-algebra degli eventi. Teoremi elementari del calcolo delle probabilità. Probabilità condizionata. Indipendenza stocastica. Variabili aleatorie. La distribuzione di probabilità. Funzione di ripartizione e sue proprietà. Distribuzioni discrete e continue. Densità. Valore atteso e varianza di una variabile aleatoria. 8. Elementi di teoria dell'utilità. Il problema delle scelte tra operazioni finanziarie aleatorie. Cenni sull'impostazione assiomatica. Ordinamento delle preferenze nell'insieme delle opportunità. Dominanza stocastica del prim’ordine. Teorema di von Neumann e Morgenstern (o De Finetti-Kolmogorov-Nagumo). Il criterio della speranza matematica. Il paradosso di San Pietroburgo. Il principio dell'utilità attesa (equivalente certo). Avversione, propensione e indifferenza al rischio. Proprietà differenziali della funzione di utilità. Misura assoluta di avversione al rischio. Alcuni tipi di funzioni di utilità (utilità logaritmica, esponenziale e quadratica). Approssimazione quadratica della funzione di utilità. L’equivalente certo. Il criterio media-varianza. 9. I contratti di assicurazione e la teoria dell’utilità. Polizze a copertura totale. Polizze a copertura parziale. Valutazione di vantaggiosità con approssimazione quadratica.