Disciplina
MATEMATICA FINANZIARIA
Settore
disciplinare SECS-S/06 Metodi matematici dell’economia e delle scienze
attuariali e finanziarie
Periodo
didattico 1°-2°
Numero
crediti 10
Propedeuticità
Metodi Matematici per l’Economia
Modalità
di svolgimento dell’esame L’accertamento della preparazione avviene in
forma scritta e orale. Il superamento della prova scritta è condizione per
l’ammissione alla prova orale.
Contenuti
1. Grandezze fondamentali della matematica
finanziaria. Interesse e tasso d'interesse di una operazione finanziaria.
Operazioni finanziarie composte. La legge degli interessi semplici e quella
degli interessi composti, loro proprietà geometriche ed analitiche. Interesse,
tasso d'interesse e di sconto, fattore di capitalizzazione e di sconto, intensità
di interesse e di sconto, intensità istantanea di interesse e di sconto di una
generica funzione valore. Tassi equivalenti in capitalizzazione semplice e
composta. Tassi nominali. I titoli obbligazionari a cedola nulla e a cedola
fissa. 2. Rendite e piani di ammortamento. Definizioni preliminari. Valore
attuale e montante di rendite temporanee a rate costanti (anticipate e
posticipate, immediate e differite). Rendite perpetue. Rendite frazionate. Le
operazioni di rendita nell'aspetto dinamico. Rendita anticipata e posticipata a
rata costante. Rendita posticipata a rata variabile. Il piano d'ammortamento a
rate costanti posticipate, a quote capitali costanti e a rimborso unico.
Preammortamento. Piani di ammortamento a periodicità frazionata. 3.
La valutazione delle operazioni
finanziarie. Il Criterio del risultato economico attualizzato (REA). Il
criterio del tasso interno di rendimento (TIR).
Caso di pagamenti periodici. Richiami sul Teorema fondamentale dell'Algebra.
Teorema di Cartesio. Determinazione del TIR mediante interpolazione lineare.
Caso di pagamenti non periodici. 4. Indici
temporali e di variabilità. Scadenza, vita a scadenza, scadenza media
aritmetica, scadenza media e duration di un flusso di importi. Duration di
rendite posticipate e di titoli obbligazionari con cedole. Misure di dispersione
temporale di un flusso di importi. Variazione relativa di un flusso di importi.
Duration di un portafoglio. 5. La
funzione valore e prezzi di mercato. Le ipotesi del mercato: non frizionalità,
competitività e assenza di arbitraggi e le loro conseguenze. Titoli a cedola
nulla unitari e non unitari. La linearità del valore attuale. La funzione
valore di un contratto a pronti e a termine e relative proprietà. Tassi
impliciti. La struttura per scadenza dei tassi d'interesse. 6. Introduzione
alla teoria dell’immunizzazione finanziaria. Il rischio di tasso
d’interesse. L’immunizzazione finanziaria classica. L’ipotesi di shift
additivi. Il teorema di Fisher e Weil. Il teorema di Redington.
7. Cenni di Calcolo delle Probabilità. Eventi. Definizione assiomatica
della probabilità. s-algebra
degli eventi. Teoremi elementari del calcolo delle probabilità. Probabilità
condizionata. Indipendenza stocastica. Variabili aleatorie. La distribuzione di
probabilità. Funzione di ripartizione e sue proprietà. Distribuzioni discrete
e continue. Densità. Valore atteso e varianza di una variabile aleatoria.
8. Elementi di teoria dell'utilità. Il problema delle scelte tra operazioni
finanziarie aleatorie. Cenni sull'impostazione assiomatica. Ordinamento delle
preferenze nell'insieme delle opportunità. Dominanza stocastica del
prim’ordine. Teorema di von Neumann e Morgenstern (o De
Finetti-Kolmogorov-Nagumo). Il criterio della speranza matematica. Il paradosso
di San Pietroburgo. Il principio dell'utilità attesa (equivalente certo).
Avversione, propensione e indifferenza al rischio. Proprietà differenziali
della funzione di utilità. Misura assoluta di avversione al rischio. Alcuni
tipi di funzioni di utilità (utilità logaritmica, esponenziale e quadratica).
Approssimazione quadratica della funzione di utilità. L’equivalente certo. Il
criterio media-varianza. 9. I contratti di assicurazione e la teoria dell’utilità.
Polizze a copertura totale. Polizze a copertura parziale. Valutazione di
vantaggiosità con approssimazione quadratica.