Disciplina METODI MATEMATICI PER L’ECONOMIA

Settore disciplinare SECS-S/06 Metodi matematici dell’economia e delle scienze attuariali e finanziarie

Numero crediti 10

Periodo didattico 1°-2°

Propedeuticità Nessuna

Modalità di svolgimento dell’esame Prova scritta e orale. Sono previste prove intermedie di accertamento del profitto.

Contenuti Successioni e serie numeriche - Algebra lineare I numeri naturali, relativi, razionali, irrazionali, reali, densità dei razionali sulla retta, intervalli e valore assoluto di un numero reale, disuguaglianze con il valore assoluto, massimo e minimo di un insieme, estremo superiore ed inferiore, insiemi limitati e non, ampliamento di R.

Elementi di calcolo combinatorio: disposizioni, permutazioni, combinazioni; coefficienti binomiali; sviluppo della potenza di un binomio.

Proprietà ereditarie e principio di induzione: esempi (parti di un insieme finito, diseguaglianza di Bernoulli, somma dei primi k naturali).

Successioni di numeri reali: problemi economici di lungo periodo, definizione di successione, esempi, ricostruzione del termine generale di una successione, rappresentazioni grafiche; successioni definite per ricorrenza: successioni aritmetiche e media aritmetica, successioni geometriche, proprietà grafiche, interesse semplice, interesse composto, applicazione della disuguaglianza di Bernoulli per il confronto tra le leggi di capitalizzazione; successioni monotone, successioni limitate; comportamento asintotico di una successione, esempi per via grafica, concetto di limite: successioni convergenti, divergenti, irregolari, esempi, unicità del limite, operazioni con i limiti, limite di polinomi e del rapporto di polinomi, limiti e disuguaglianze: teoremi del confronto e della permanenza del segno; limite di successioni monotone, limite di successioni aritmetiche e geometriche; il numero e.

Serie numeriche: il paradosso di Zenone, definizione di serie, convergenza, esempi, serie geometriche e numeri periodici, qualche criterio di convergenza per le serie a termini non negativi e convergenza delle serie a segni alterni; applicazioni: valore attuale di una rendita, utilizzo delle serie per il calcolo di aree.

Matrici e sistemi lineari: il modello di Walras per un mercato con due soli beni: ricerca dei prezzi di equilibrio mediante la risoluzione di un sistema di due equazioni in due incognite per via grafica e per sostituzione; il modello di Walras per un mercato con n beni: sistema di n equazioni lineari in n incognite; matrici associate ad un sistema, operazioni con matrici e loro proprietà, operazioni elementari, riduzione di una matrice, determinante, operazioni elementari e determinante (proprietà dei determinanti). Applicazione alla risoluzione dei sistemi lineari: il metodo di Gauss per la risoluzione di un sistema (3 equazioni in 3 incognite), il metodo di Cramer. Soluzioni di un sistema omogeneo.

Calcolo differenziale e calcolo integrale - Elementi di calcolo differenziale per funzioni di due (o più di due) variabili. Strumenti matematici per la costruzione di modelli economici, esempi di problemi di scelta ottima: il modello del consumatore; relazioni tra gli elementi di un insieme, relazioni di preferenza, funzioni, funzioni di utilità.

Funzioni: rappresentazione grafica, funzioni invertibili, funzioni lineari e lineari affini (funzioni di domanda/offerta ed equilibrio del mercato), funzioni quadratiche e quadratiche inverse (parabola, iperbole, l’andamento qualitativo della funzione profitto, grafico della funzione domanda), funzioni elementari (funzione potenza, esponenziale, logaritmica, valore assoluto); funzioni composte, dominio di una funzione composta, funzioni monotone; convessità e suo significato economico.  

Funzioni continue: significato intuitivo della continuità, definizione di funzione continua attraverso i limiti di successioni; continuità delle funzioni composte da funzioni elementari; esempi di funzioni non continue; Teorema di Bolzano ed applicazioni: teorema degli zeri e soluzioni approssimate di equazioni del tipo f(x)=0; limiti di funzioni elementari ed approssimazione, limiti di funzioni composte mediante funzioni elementari, limite di polinomi e del rapporto di polinomi; funzione rapporto incrementale e sua interpretazione geometrica, rapporto incrementale e monotonia, derivate delle funzioni elementari e significato geometrico; differenziale e suo significato geometrico; applicazioni della derivata: studio della monotonia, grafico; massimi e minimi: Teorema di Weierstrass; condizioni necessarie del primo ordine per la determinazioni di massimi e minimi; soluzione di problemi di ottimizzazione libera.

Integrali: calcolo dell’area di una figura piana e valore medio di una grandezza: integrale definito; calcolo dell’integrale: primitiva, Teorema fondamentale del calcolo integrale; alcuni metodi di integrazione.

Cenni al calcolo differenziale in più variabili: funzioni in due variabili: dominio, linee di livello, curve di indifferenza; limiti di funzioni in più variabili, derivate parziali e differenziale: equazione del piano tangente (cenni); condizioni necessarie del primo ordine per la determinazione dei massimi e minimi, esempi di soluzione di problemi di ottimizzazione libera e vincolata: il caso di vincolo esplicitabile, esempi: distanza di un punto da una retta, ottimizzazione del profitto e fattori di produzione, il problema del consumatore.