Obiettivo del corso:

Fornire allo studente gli strumenti atti a definire i principi e le tecniche del calcolo finanziario, impostare le logiche della valutazione finanziaria, fornendo le nozioni di base per la formalizzazione dei contratti e per la lettura formale dei mercati dei capitali. Getta le basi della teoria delle decisioni finanziarie in condizioni di incertezza, orientando alle tematiche del controllo dei rischi e della moderna finanza d'impresa.

Grandezze fondamentali della matematica finanziaria.
Interesse e tasso d'interesse di una operazione finanziaria. Operazioni finanziarie composte. La legge degli interessi semplici e quella degli interessi composti, loro proprietà geometriche ed analitiche. Interesse, tasso d'interesse e di sconto, fattore di capitalizzazione e di sconto, intensità di interesse e di sconto, intensità istantanea di interesse e di sconto di una generica funzione valore. Tassi equivalenti in capitalizzazione semplice e composta. Tassi nominali. I titoli obbligazionari a cedola nulla e a cedola fissa.

La funzione valore e prezzi di mercato.
Le ipotesi del mercato: non frizionalità, competitività e assenza di arbitraggi e le loro conseguenze. Titoli a cedola nulla unitari e non unitari. La linearità del valore attuale. La funzione valore di un contratto a pronti e a termine e relative proprietà. Tassi impliciti. La struttura per scadenza dei tassi d'interesse. Intensità istantanea d’interesse e intensità di rendimento a scadenza. Capitalizzazione lineare e iperbolica (sconto razionale e sconto commerciale). La legge esponenziale e relative proprietà funzionali. Operazioni finanziarie eque.

Rendite e piani di ammortamento.
Definizioni preliminari. Valore attuale e montante di rendite temporanee a rate costanti (anticipate e posticipate, immediate e differite). Rendite perpetue. Rendite frazionate. Le operazioni di rendita nell'aspetto dinamico. Rendita anticipata e posticipata a rata costante. Rendita posticipata a rata variabile. Rendita posticipata a quota capitale costante. Il piano d'ammortamento a rate costanti posticipate e anticipate, a quote capitali costanti e a rimborso unico. Preammortamento. Piani di ammortamento a periodicità frazionata.

Tasso interno di rendimento di una operazione finanziaria.
Il problema del tasso interno di rendimento. Caso di pagamenti periodici. Richiami sul Teorema fondamentale dell'Algebra. Teorema di Cartesio. Metodo di Newton: aspetti geometrici e dimostrazione analitica. Caso di pagamenti non periodici.

Indici temporali e di variabilità.
Maturity, durata media, scadenza media aritmetica e duration di un flusso di importi. Duration di rendite posticipate e di titoli obbligazionari con cedole. Misure di dispersione temporale di un flusso di importi. Variazione relativa, elasticità, convexity, convessità relativa di un flusso di importi. Valore, tasso interno di rendimento e duration di un portafoglio. Introduzione alla teoria dell’immunizzazione finanziaria.

Operazioni finanziarie aleatorie

1. Cenni di Calcolo delle Probabilità.
Enti aleatori. Eventi. Prove ripetibili e non ripetibili. Definizione della probabilità classica, frequentista, soggettiva e assiomatica. s -algebra degli eventi. Teoremi elementari del calcolo delle probabilità. Probabilità condizionata. Indipendenza stocastica. Teorema di Bayes. Variabili aleatorie. La distribuzione di probabilità. Funzione di ripartizione e sue proprietà. Distribuzioni discrete e continue. Densità. Valore atteso e varianza di una variabile aleatoria. Cenni sulle principali distribuzioni di probabilità.

2. Elementi di teoria dell'utilità.
Il problema delle scelte tra operazioni finanziarie incerte. Cenni sull'impostazione assiomatica. Ordinamento delle preferenze nell'insieme delle opportunità. Funzione di valutazione. Dominanza stocastica del primo ordine. Teorema di rappresentazione di von Neumann e Morgenstern. Il criterio della speranza matematica. Il paradosso di San Pietroburgo. Il principio dell'utilità attesa. Avversione, propensione e indifferenza al rischio. Proprietà differenziali della funzione di utilità. Misura assoluta di avversione al rischio. Alcuni tipi di funzioni di utilità (utilità logaritmica, esponenziale e quadratica). Approssimazione quadratica della funzione di utilità. L’equivalente certo.

3. Teoria dell'utilità e selezione di portafoglio.
Analisi rischio-rendimento. Misura generalizzata di rischiosità. Frontiera delle opportunità e frontiera efficiente. I modelli media-varianza. Analisi media varianza di portafogli azionari. Introduzione al CAPM (Capital Asset Pricing Model).

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