Università della Calabria - Facoltà di Economia

 


Analisi Matematica (S.S.A.)
(Prof. P. Pietramala)

SPAZI METRICI : Funzione distanza. Spazi e sottospazi metrici. Disuguaglianza di Schwarz (dim.). Esempi di spazi metrici: IR con la metrica euclidea; IR con la metrica del massimo; IR con la metrica d(x,y)= ~ Ix,-y, I; C [a,b] con la distanza del massimo; C [a,b] con la distanza d(f,g)= ~/ If(x)-g(x)l dx; da (X,d) a (X,dl) con d1(x,y)=d(x,y)/1+d(x,y). Intorno sferico. Metriche equivalenti. Insiemi aperti. Successioni di punti di uno spazio metrico. Limite di successioni. Teorema di unicità del limite (dim.). Successioni di Cauchy. Spazi completi. Teorema di Banach - Caccioppoli (dim.). Insiemi chiusi. Caratterizzazione degli insiemi chiusi mediante limiti di successioni * (dim.). Successioni di funzioni in C [a,b]. Convergenza uniforme e convergenza puntuale di funzioni. Insiemi limitati. Diametro di un insieme. Distanza di un punto da un insieme. Distanza fra due insiemi. Punto di accumulazione. Punto interno, esterno, di frontiera. Insiemi compatti. Caratterizzazione dei compatti di IR . Teo. di Bolzano -Weierstrass. Insiemi connessi. Spazi vettoriali. Spazi vettoriali normati. Insiemi convessi. Insiemi connessi per spezzate. Applicazioni continue fra spazi metrici. Limiti in spazi metrici. Teorema Ponte in spazi metrici (dim.). Teo. della permanenza del segno (dim.). Teorema di Weierstrass (dim.). Uniforme continuità. Teorema di Cantor (dim.).

FUNZIONI REALI DI DUE VARIABILI REALI: Notazioni e definizioni. Domini di definizione di funzioni di due variabili reali . Limiti di funzioni. Funzioni continue. Derivate parziali. Significato geometrico. Gradiente di f. Derivate direzionali. Significato geometrico. Derivabilità nei punti di frontiera del dominio di definizione. Derivate successive. Teo. di Schwarz (dim.). Funzioni differenziabili. Teorema di Fermat (dim.). Teo. di Rolle (dim.). Teorema: f differenziabile implica f continua e derivabile (dim.). Teorema del differenziale totale (dim.). Derivate delle funzioni composte. Massima e minima pendenza. Equazione del piano tangente. Differenziali successivi. Teorema di Lagrange (dim.). Teorema di caratterizzazione delle costanti (dim.). Formula di Taylor. Definizioni e risultati sulle forme bilineari e sulle forme quadratiche . Teorema di Jacobi (dim.). Massimi e minimi relativi. Condizione necessaria del primo ordine (dim.).Condizione necessaria del secondo ordine (dim.). Condizione sufficiente del secondo ordine (dim.). Applicazione ad un problema economico di ottimizzazione statica . Teorema del Dini (dim.). Massimo e minimo assoluti. Massimi e minimi vincolati. Metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Applicazione ad un problema economico di ottimizzazione vincolata .

FUNZIONI VETTORIALI DI PIÙ' VARIABILI RESI I Funzioni da IRE in IR e da IRE in IRE. Notazioni, definizioni ed esempi. Derivabilità e differenziabilità per funzioni da ire in IR. Condizioni necessarie e/o sufficienti del 1° e del 2° ordine per l'esistenza di pti di massimo o minimo relativo.Teorema del Dini. Differenziabilità per componenti. Matrice Jacabiana.

EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE: Notazioni, definizioni ed esempi. Soluzione di una equazione differenziale. Integrale generale. Il Problema di Cauchy. Teorema di Peano. Formulazione integrale del Problema di Cauchy del 1° ordine (dia.). Teorema di esistenza ed unicità del Problema di Cauchy in ipotesi di Lipechitz (dim.). Teorema di esistenza e di unicità globale. Dipendenza continua dai dati. Soluzioni di un' equazione differenziale lineare del 1° ordine (dim.). Equazioni differenziali del 1° ordine a variabili separabili. Equazioni di tipo y'=G(ax+by). Equazioni di tipo Manfredi: y'=G(y/x). Equazioni di Bernoulli. Equazioni di Riccati. Equazioni differenziali esatte. Criterio di esattezza (dim.). Equazioni differenziali lineari di ordine n. Metodo di variazione delle costanti. Equazioni differenziali lineari omogenee di ordine n a coefficienti costanti. Equazioni differenziali lineari di ordine n a coefficienti costanti con termine noto di tipo e~x [p(x)sen /} x + q(x)cosBx]. Sistemi di equazioni lineari. APPLICAZIONI: Modello di decadimento di una sostanza radioattiva. Modello epidemico. Modello di aggiustamento dei prezzi (discreto e continuo) . Modello di crescita economica di Domar . Modello per i regimi di capitalizzazione . Modelli in dinamica delle popolazioni. Modello di crescita di una popolazione isolata: legge di Malthus. Modello di Verhulst . Modello di crescita di una popolazione non isolata . Modello di crescita della popolazione mondiale . Interazione fra due popolazioni: modello di cooperazione e modello di competizione; sistema preda - predatore (risoluzione del modello lineare, storia, cenni sul modello non lineare, critiche).

INTEGRAZIONE DI FUNZIONI REALI DI DUE VARIABILI REALI: Integrale secondo Riemann. Definizioni, notazioni ed esempi. Teorema di riduzione su rettangoli. Teorema di passaggio al limite sotto segno di integrale. Teorema di derivazione sotto segno di integrale. Formula di Leibniz. Misura di Peano Jordan. Integrabilità di funzioni continue quasi ovunque. Metodi di calcolo per integrali doppi. Formula di riduzione per integrali su domini normali. Cambiamento di variabili negli integrali doppi: coordinate polari ed altri cambiamenti. Integrali doppi impropri: caso dominio non limitato e caso f unzione non limitata su domini limitati.

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